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ALGORITHMES DE CALCUL OU THEORIE ANNEXES |
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CONTENU : Mis à jour 21
novembre 1999, revu sept 2011 |
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Ce
chapitre présente un minimum de méthodes mathématiques, simplement ce qui est
nécessaire pour la résolution numérique de certains projets. Il pourrait
s'étoffer au fur et à mesure des besoins ou des suggestions.
Voici
quelques précisions sur l'intégration des systèmes différentiels par la méthode
de Runge-Kutta.
1°) SYSTEME CANONIQUE :
Le
point de départ est toujours un système différentiel à une ou plusieurs
fonctions inconnues, rassemnblées dans un vecteur Y de l'espace vectoriel Rn.
a
) Exemple 1 : avec une équation différentielle d'ordre 2, très simple, à
une fonction inconnue y(t) et une variable t et les deux conditions initiales
classiques.
On
pose classiquement un nouveau vecteur Y à 2 composantes et l'équation devient
un système différentiel d'ordre 1 à 2 inconnues :
a
) Exemple 1 : avec un système plus complexe :
On
pose alors la fonction vectorielle inconnue Y :
c
) Conclusions : sans faire de théorie générale, il apparaît qu'un
système différentiel d'ordre n, à p inconnues se transforme en un système
différentiel , d'ordre 1 à np inconnues et np conditions initiales. L'ensemble
se met alors sous la forme canonique présentée ci-dessus.
2°) RUNGE KUTTA ordre 4 :
Toutes
les méthodes d'intégration consistent connaissant une valeur y(ti)
de la fonction à tabler, à l'instant ti, à calculer sa valeur
voisine à l'instant ti+1=ti+Dt, par une formule du type :
Les
diverses méthodes se différencient par le mode de calcul de la pente p de la
fonction entre 2 points voisins.
La
méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 calcule p à l'aide de 4 valeurs pondérées de
cette pente, en des points voisins avec l'algorithme suivant de calcul de 4
constantes K.
La
pente p vectorielle est alors la moyenne pondérée suivante :
On
obtient ainsi la valeur suivante de la fonction cherchée, inconnue :
Et
ainsi de suite par itérations successives. Dt
est le pas de l'intégration que rien n'empêche de faire varier au cours de
l'intégration. C'est en général une valeur à optimiser (voir les ouvrages
spécialisés et en particulier celui de M Zarouatti du CNES), en fonction du
problème.
NB
: La méthode Runge-Kutta ordre 4 intègre exactement les polynômes d'ordre 4.
Eventuellement
trois routines écrites en C par M Chiavassa, professeur à l'Ecole de l'Air,
sont disponibles en fichiers textes dans le répertoire \mathutil\*.*
RK4_C.TXT Runge
Kutta ordre 4
RKDUMB_C.TXT Runge
Kutta améliorée
PECE6_C.TXT Méthode de prédiction correction
II CALCUL DE L'ANOMALIE EXCENTRIQUE :
De
nombreux problèmes de mécanique spatiale demandent le calcul de l'anomalie
excentrique j, donnée par l'équation suivante :
L
'équation étant transcendante la meilleure méthode consiste à calculer j par itération, en partant d'une valeur quelconque jo , et d'utiliser la relation ci dessous :
La
convergence est assurée et assez rapide vers la solution unique, en quelques
itérations, la méthode est d'autant plus rapide que la première valeur est
proche de la solution.
III INTEGRATION DU TEMPS EN MECANIQUE SPATIALE :
L'équation
du temps
permet
de calculer la dérivée de j par rapport
au temps, en dérivant les deux membres :
Cette
équation permet donc de calculer le temps datant les phénomènes, lorsque le
temps n'est pas la variable principale d'intégration du problème.
IV QUATERNIONS : Voir le cours spécial dans SCAO\QUATERN
Cette
théorie, au demeurant assez simple, ne sera utilisée, dans le cadre de ce
cours, que dans l'optimisation de la masse au décollage d'un lanceur.
1°) FORMULATION MATHEMATIQUE DU PROBLEME :
Soit
f , g1, g2, ...,gp avec p inférieur ou égal à
n, p+1 applications numériques de Rn dans R, définies sur un pavé de
Rn.
2°) Question ? " Comment déterminer un extremum de f,
moyennant les p CONTRAINTES g1=0, ...,gp=0"
3°) THEOREME REPONSE :
" La recherche d'un extremum lié d'une fonction f,
moyennant les p contraintes g1 = 0, ...,gp= 0,
revient à rechercher un extremum libre d'une fonction annexe h = f+l1g1+....+lpgp , le
problème se résolvant donc le système suivant de n + p inconnues et n + p
équations :
l1,....+lp, s'appellent les multiplicateurs indéterminés de
Lagrange"
4°) DEMONSTRATION :
Posons
Xm = (x1, ...,xn) un point rendant Rn rendant f
extrémale. Alors on peut écrire:
Posons
n+1 vecteurs de Rn, à composantes constantes, puisque X est fixé à Xo :
En
termes d'espace vectoriel et d'orthogonalité, cela signifie que :
Si
le vecteur dX appartient à l'espace orthogonal de V1, , Vp alors dX appartient à l'orthogonal
de W.
En
conclusion, le vecteur W est donc contenu dans l'espace vectoriel engendré par
V1, , Vp.
Il
existe donc p constantes parfaitement définies l1,....+lp mais inconnues, telles que
Traduit
avec les fonctions f et gi, il vient en posant
ou
encore le point cherché est un extremum libre de la fonction annexe h. CQFD
VI : NOTE PARTICULIERE DE CALCUL DU
JOUR JULIEN
:
Vous
rencontrerez dans la littérature plusieurs jours juliens :
JOUR
JULIEN NOUVEAU :
associé J2000. Le compteur est à 0 le 01/01/2000 à 12 heures
La
formule permettant ce calcul est
avec
:
Y
le n° de l'année dans le siècle, compté à partir de 2000 :
(
2003 ---> Y=3 , 1986 --> Y = - 14)
D
est le n° du jour dans l'année ( le 30 juin 2002 est de N° 181, le 30 juin 2004
est de N° 182 )
H
est l'heure décimale dans le jour ( 13 H 45 mn 56 s ---> H=13.765556 )
JOUR
JULIEN ancien :
associé au 1er janvier de l'an 4713 avant JC :
La
formule permettant le calcul est :
Y
le n° de l'année dans le siècle, compté à partir de l'année1900 ( 2005 --->
Y = 105, 1986 ---> Y= 86 )
D
est le n° du jour dans l'année ( le 30 juin 1986 est de N° 181, le 30 juin 1988
est de N° 182 )
H
est l'heure décimale dans le jour ( 13 H 45 mn 56 s ---> H=13.765556 )
PASSAGE
Jjancien à JJ2000 :
EXEMPLES :
1er
Janvier 2000 12 h 00 mn 00 s : JJ2000 = 0 JD = 2451545
30
juin 1986 0 h 0 mn 0 s : JJ2000 = - 4933.5 JD = 2446611.5
14
mai 2003 15 h 25 mn 23 s :
JJ2000
= 1229.1426273
JD
= 2452774.1426273
Guiziou Robert novembre 2002, sept
2011